Систематические и случайные ошибки измерений

Сегодня мы предлагаем статью на тему: "Систематические и случайные ошибки измерений". Наши специалисты постарались полностью раскрыть тему доступным языком. Вопросы вы можете задать нашему дежурному юристу.

lg77.23≈ 2.8878≈ 2.888 .

Примечание. При вычислении промежуточных результатов следует брать на одну цифру больше, чем указано в округлении при выполнении математических действий над числами. В окончательном результате эта «запасная» цифра отбрасывается. Приведенный ниже пример поясняет сказанное:

(23.2 + 0.442+ 7.247)×1.8364

(23.2 + 0.44+ 7.25)×1.84

2.412

2.41

30.89 ×1.84

56.38

≈ 23.58≈ 23.6 .

4.41

2.41

Значение физической величины округляется до первой сомнительной цифры. Все цифры, стоящие после сомнительной, отбрасываются. Абсолютная ошибка округляется до одной значащей цифры, относительная ошибка — до двух значащих цифр.

Пример. Путем измерений и математических расчетов было получено, что для объема некоторого тела имеют место следующие числа (см. с. 13: Вычисление абсолютной и относительной ошибок измерений):

V = 43.235 м3;∆V= ± 0.423 м3.

Оказалось, что сомнительной цифрой при вычислении объема является 2. Тогда результат можно записать в следующем виде:

V= (43.2 ± 0.4) м3; EV =43.20.4 ×100% = 0.92%.

Истинное значение физической величины абсолютно точно определить нельзя. Измерение тел, предметов или любой физической величины всегда производится с той или иной степенью точности1, т.е. с той или иной степенью приближения к ис-

1 Точностью называется величина, обратная относительной погрешности. Точность обработки результатов измерений должна согласовываться с точностью самих измерений.

тинному значению искомой величины. Если указываем, что высота дерева 2 м 56 см, а измерена она с точностью до 1 см, то это будет означать, что отклонение найденной высоты от истинной не превышает 1 см.

При измерении физических величин под действием самых разнообразных причин возникают погрешности измерения. Все погрешности принято подразделять насистематические, слу-

чайные и промахи (ошибки).

1. Промахи

Это наиболее распространенная причина ошибок. Она возникает по вине экспериментатора, сделавшего неверный отсчет, неверно записавшего результат измерения, допустившего ошибку при вычислении. К промахам, например, относятся неточно установленный нуль секундомера или нониуса микрометра, неправильная установка самого прибора (вертикальная вместо горизонтальной или наоборот), неразборчивая или небрежная запись в черновиках, а следовательно, и неправильное переписывание данных при составлении отчета дома и т.п.

Эта ошибка бывает значительно больше погрешностей других измерений. Если ошибка допущена в одном измерении из нескольких, сделанных верно, то, сравнивая числовые значения полученных результатов или их абсолютных погрешностей, ее легко обнаружить. Результат, полученный ошибочно, резко отличается от результатов других измерений, а абсолютная погрешность имеет значение, значительно превышающее абсолютные погрешности других измерений. Эта ошибка должна быть исключена из результатов измерений.

2. Систематические погрешности

Систематической называют такую погрешность, которая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины. Такие погрешности появляются вследствие неисправности приборов, неточности метода исследования,каких-либоупущений экспериментатора, а также при использовании для вычислений неточных зависимостей (формул), констант и т.д.

Эти ошибки очень трудно контролировать, поскольку они связаны с конструкцией либо состоянием самого измерительного прибора или инструмента (например: неправильно отградуированный штангенциркуль, не установленная на нуль стрелка прибора), а также с влиянием на них незаметных, на первый взгляд, факторов (температуры, влажности, электрических и магнитных полей, вибрации, освещенности и т.п.). В этом случае всегда измеряемая величина (линейные размеры, ток, напряжение, сопротивление и т.п.) будет заниженной или завышенной по сравнению с истинной. Таким образом, из сказанного выше ясно, что для избежания таких ошибок необходимо тщательно готовить измерительные приборы, оборудование, установки, обеспечивать правильное хранение, а также исключить внешние факторы, влияющие на результат измерения.

3. Случайные погрешности

Случайной называется погрешность, которая вызывается действием не поддающихся контролю многочисленных, независимых друг от друга факторов, изменяется от одного измерения к другому непредсказуемым образом и в равной степени может быть как положительной, так и отрицательной.

Случайные ошибки присутствуют при любых измерениях и связаны с неточностью отсчета. Например, различное зажатие деталей микрометрическим винтом микрометра или ножками штангенциркуля, различное положение глаза при отсчете по шкале и т.п. Однако в этом случае отличия носят случайный характер и отклонения от истинного значения могут происходить как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения его. Эта ошибка может быть уменьшена увеличением числа повторных измерений и нахождением среднего арифметического из полученного количества результатов. Например, если А1, А2, А3, …

An — результаты, полученные в процессе отдельных измерений, то величина

n

ACP=

A

+ A

2

+ A

3

+ + A

n

=

∑Ai

1

i=1

n

n

13

будет средним арифметическим из n указанных результатов. Эта величина будет наиболее близкой к истинному значению искомой величины.

В общем случае при измерении любой величины могут присутствовать все три вида ошибок, но последний будет присутствовать всегда.

Вычисление абсолютной и относительной погрешностей измерений при прямых измерениях

1. Абсолютная погрешность

Оценить отклонение каждого из результатов измерения от истинной величины можно лишь при наличии данных большого числа измерений с использованием теории вероятности. Однако на практике, в лабораторных условиях проводят 3-5измерений. В этом случае абсолютная погрешность отдельногоi-гоизмерения будет следующей:

|∆Аi| = |АСР — Аi|,

где АСР — средняя величина размера А. Средняя арифметическая величина всех∆Аi значений

называется абсолютной погрешностью опыта. Окончательный результат измерения может быть записан в виде

А = АСР ± ∆АСР,

где А — искомая величина, которая лежит внутри интервала

АСР± ∆АСР.

Например, если сделаем несколько измерений длины заготовки в столярной мастерской и получим среднее значение lСР = 75.5 см, а среднее арифметическое абсолютной погрешности∆lСР = 0.3 см, то результат запишется в виде

l = (75.5 ± 0.3) см.

Это означает, что истинное значение длины заготовки лежит в интервале от 75.2 см до 75.8 см. При этом не имеет смысла вычислять среднее значение с большим числом знаков после запятой, так как от этого точность не увеличивается.

14

Систематические и случайные ошибки измерений 95

2. Относительная погрешность

Абсолютная погрешность измерения не характеризует точности проведенных измерений. Поэтому для того, чтобы сравнить точность различных измерений и величин разной размерности, находят среднюю относительную погрешность результата (ЕА). Относительная погрешность определяется отношением абсолютной погрешности к среднему арифметическому значению измеряемой величины, которая определяется в процентах:

Читайте так же:  Доверенность на получение товара (между физическими лицами)

ЕА=∆ACP 100%.

ACP

Относительная погрешность показывает, какая часть абсолютной погрешности приходится на каждую единицу измеренной величины. Это дает возможность оценить точность проведенных измерений, качество работы.

Так, например, пусть при измерении бруска длиной l = 1.51 см была допущена абсолютная погрешность 0.03 мм, а при измерении расстояния от Земли до Луны L = 3.64.105 км абсолютная погрешность составила 100 км. Может показаться, что первое измерение выполнено намного точнее второго. Однако о точности измерения можно судить по относительной погрешности, а она показывает, что второе измерение было выполнено в семь раз точнее первого:

El

=

0.03

мм

100% = 0.2%

15.1

мм

и

ЕL =

100 км

100% = 0.03%.

364000 км

Вычисление абсолютных и относительных погрешностей при косвенных2 измерениях

В большинстве случаев при выполнении физических экспериментов исследуемая величина не может быть измерена не-

2 При косвенных измерениях значение физической величины получают расчетным путем на основании ее зависимости от величин, измеряемых прямо.

посредственно, а является функцией одной или нескольких переменных, измеренных непосредственно. При косвенных измерениях абсолютная и относительная погрешности результатов измерений находятся вычислением через абсолютные и относительные погрешности непосредственно измеренных величин.

Использование формул дифференцирования

Для определения абсолютных и относительных погрешностей искомой величины при косвенных измерениях можно воспользоваться формулами дифференцирования, потому что абсолютная ошибка функции равна абсолютной ошибке аргумента, умноженной на производную этой функции, то есть полному дифференциалу функции.

Рассмотрим это более подробно. Допустим, что физическая величина А является функцией многих переменных:

A = f (x, y, z …).

Правило I. Вначале находят абсолютную погрешность величины А, а затем относительную погрешность. Для этого необходимо:

1) Найти полный дифференциал функции dA = ∂∂Ax dx+ ∂∂Ay dy+ ∂∂Az dz+ .

2) Заменить бесконечно малые dx, dу, dz, … соответствующими абсолютными ошибками аргументов ∆x,∆y,∆z, … (при этом знаки «минус» в абсолютных ошибках аргументов заменяют знаками «плюс», так чтобы величина ошибки была максимальной):

dA =∂∂Ax ∆x +∂∂Ay ∆y +∂∂Az ∆z +.

Применяя это правило к частным случаям, получим:

-абсолютная погрешность суммы равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. Если X = a + b, то∆X =∆a +∆b;

-абсолютная погрешность разности равна сумме абсо-

лютных

погрешностей уменьшаемого и вычитаемого. Если

X = a — b, то∆X =∆a +∆b;

абсолютная погрешность произведения двух сомно-

жителей равна сумме произведений среднего значения первого множителя (aCP) на абсолютную погрешность второго и среднего значения второго множителя (bCP) на абсолютную погрешность

первого. Если X = а b, то∆X = aCP ∆b + bCP ∆а. ЕслиX = an , то

∆X = nаCPn-1 ∆а;

— абсолютная погрешность дроби равна сумме произведения знаменателя на абсолютную погрешность числителя и числителя на абсолютную погрешность знаменателя, деленной на

квадрат знаменателя. Если X =

a

, то ∆X=

b

CP

∆a +a

CP

∆b

.

b

bCP2

3) По определению найдем относительную погрешность

EA = ∆A 100% .

ACP

Видео удалено.
Видео (кликните для воспроизведения).

Использование дифференциала натурального логарифма

Во многих случаях, когда формула удобна для логарифмирования, оказывается более удобной другая последовательность действий: сначала находят относительную погрешность величины А, а затем абсолютную погрешность, поскольку относительная ошибка функции равна дифференциалу натурального логарифма этой функции. Действительно, относительная погрешность величины А есть ЕА =∆A/Аср , но d(lnA) =∆A/А и, следовательно,∆(lnA) =∆A/А.

Правило II.

1)Логарифмируют функцию A = f (x, y, z, …).

2)Дифференцируют полученный логарифм по всем аргу-

ментам.

3)Заменяют бесконечно малые dx, dy, dz, … абсолютными

ошибками соответствующих аргументов ∆x,∆y,∆z, … (знаки «минус» в абсолютных ошибках аргументов заменяют знаками

«плюс»).

После вычислений получают относительную погрешность

ЕА.

4) Абсолютную погрешность находят из формулы

17

∆A =ΑCP ΕΑ..

Указания. 1. Если функция A = f (x, y, z, …) имеет вид, неудобный для логарифмирования, то для определения погрешностей пользуются правилом I.

2. Если функция A = f (x, y, z, …) имеет вид, удобный для логарифмирования, то для определения погрешностей пользуются правилом II.

Рассмотрим следующие примеры:

1. В результате изучения равноускоренного движения не-

которого тела получено выражение S = v0 t +a t2/2, в котором v0 = (12± 1) м/с;a = (2.5± 0.4) м/с2; t = (30± 2) с;

S = 12 30 +

2.5 900

= 1485 м.

2

Для оценки абсолютной и относительной погрешностей при определении пути удобно пользоваться правилом I, так как функция неудобна для логарифмирования. Тогда

∆S = t ∆V0 + V0 ∆t+ 12 tCP2 ∆a + aCP tCP ∆t.

Так как

∆V0 = 1 м/с;∆t = 2 с;∆a = 0.4 м/с2; V0 = I2 м/с; tСР = 30 с;aСР = 2,5 м/с2 , то, подставив эти величины в формулу для∆S,

получим

∆S = 1 м/с 30 с + 2 с 12 м/с + 1/2 0.4 м/с2 900 с2 + 2.5 м/с2 30 c 2 c = 30 м +24 м +180 м +150 м = 384 м≈ 400 м.

Полученный результат показывает, что при определении пути (1485) цифра 4 является сомнительной. Значит, S = 1500 м. Тогда

ES =1500400 100% = 0.266 100% = 27%.

Окончательный результат будет иметь вид:

S = (1500 ± 400) м; ЕS = 27%.

2. При определении центростремительной силы, действующей на тело, вращающееся по окружности, пользуются формулой

18

При анализе и обработке результатов измерений в метрологии используются понятия истинного значения физической величины и ее эмпирического проявления – результаты измерений. Истинными называется значения физических величин, которые идеальным образом отражают свойства изучаемого объекта как в количественном, так и в качественном отношении. Истинные значения являются объективной реальностью и не зависят от используемых средств их познания. Именно к ним стремится наблюдатель, выражая численно измеряемые величины. Полученные же результаты измерений являются приближенными оценками истинных значений физических величин, и точность этих оценок зависит от многих факторов, в частности, от метода измерений, от используемых технических средств, от индивидуальных особенностей органов чувств наблюдателя и др.

Читайте так же:  Нарушение условия о конфиденциальности

Разница между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины называется погрешностью измерения. Погрешность измерений является неизвестной величиной, поскольку истинное значение измеряемой величины неизвестно. Поэтому для приближенной оценки погрешности вместо истинных значений используют так называемые действительные значения измеряемых величин.

Действительное значение физической величины находится экспериментально, но оно настолько приближается к истинному значению, что для заданной цели его можно использовать как истинное.

При метрологических работах вместо истинного значения используют действительное значение, за которое принимают обычно показание эталонов. В практической деятельности вместо истинного значения используют его оценку.

По форме числового выражения погрешности измерений подразделяют на абсолютные и относительные.

Абсолютные погрешности выражают в единицах измеряемой величины.

Относительная погрешность определяется отношением абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины. Например, вагон массой 50 т измерен с абсолютной погрешностью ± 50 кг, относительная погрешность составляет ± 0,1 %.

По источникам возникновения погрешности подразделяют на инструментальные (обусловлены свойствами средств измерений), методические (возникают вследствие неправильного выбора модели измеряемого свойства объекта, несовершенства принятого метода измерений, допущений и упрощений при использовании эмпирических зависимостей и др.) и субъективные (погрешности оператора). Способы оценивания погрешностей измерений в НД по метрологии приведены с учетом такой классификации.

Причинами возникновения погрешностей является совокупность большого числа факторов, которые можно объединить в две основные группы:

— факторы, проявляющиеся нерегулярно, которые трудно предвидеть;

— факторы, закономерно изменяющиеся при проведении измерений, которые проявляются постоянно.

Погрешности, относящиеся к первой группе факторов, называются случайными погрешностямиа ко второй группе — систематическими погрешностями измерений. В процессе измерений оба вида погрешностей проявляются одновременно.

Уровень случайных погрешностей при проведении определенных измерений примерно одинаков, однако некоторые из них могут выходить за границы, обусловленные ходом эксперимента. Такие погрешности называются грубыми. К грубым погрешностям относятся и промахи — погрешности, зависящие от неправильного обращения со средствами измерений, ошибками записи результатов и т.п.

Внешним признаком результата, содержащего грубую ошибку, является его резкое отличие по величине от результатов основных измерений. При обнаружении грубой ошибки результат измерения, содержащий ее, необходимо отбросить и, если возможно, повторить само измерение. Грубые ошибки желательно выявить и отсеять непосредственно при проведении измерений. Это один из наиболее эффективных подходов по исключению этих ошибок. Однако их можно обнаружить и при проведении начальной математической обработки результатов измерений.

В отличие от случайных систематические погрешности измерений остаются постоянными или закономерно изменяются при повторных измерениях одной и той же величины. При надлежащей постановке эксперимента такие погрешности обычно удается вычислить и исключить из результатов измерений.

Точность измерений — качество измерений, отражающее близость их результатов к истинному значению измеряемой величины. Высокая точность измерений соответствует малым погрешностям всех видов, как систематических, так и случайных.

Правильность измерений — качество измерений, отражающее близость к нулю систематических погрешностей в их результатах. Результаты измерений правильны постольку, поскольку они не искажены систематическими погрешностями.

Сходимость измерений — качество измерений, отражающее близость друг к другу результатов измерений, выполняемых в одинаковых условиях (одним и тем же средством измерений, одним и тем же оператором). Для методик выполнения измерений сходимость измерений является одной из важнейших характеристик.

Воспроизводимость измерений — качество измерений, отражающее близость друг к другу результатов измерений, выполняемых в различных условиях (в различное время, в разных местах, разными методами и средствами измерений). В процедурах испытаний продукции воспроизводимость является одной из важнейших характеристик.

Требования к измерениям определены ст. 5 Федерального закона «Об обеспечении единства измерений», которым установлены следующие положения:

— измерения, относящиеся к сфере государственного регулирования обеспечения единства измерений, должны выполняться по аттестованным методикам (методам) измерений, за исключением методик (методов) измерений, предназначенных для выполнения прямых измерений, с применением средств измерений утвержденного типа, прошедших поверку. Результаты измерений должны быть выражены в единицах величин, допущенных к применению в Российской Федерации;

— методики (методы) измерений, предназначенные для выполнения прямых измерений, вносятся в эксплуатационную документацию на средства измерений. Подтверждение соответствия этих методик (методов) измерений обязательным метрологическим требованиям к измерениям осуществляется в процессе утверждения типов данных средств измерений. В остальных случаях подтверждение соответствия методик (методов) измерений обязательным метрологическим требованиям к измерениям осуществляется путем аттестации методик (методов) измерений. Сведения об аттестованных методиках (методах) измерений передаются в Федеральный информационный фонд по обеспечению единства измерений проводящими аттестацию юридическими лицами и индивидуальными предпринимателями;

— аттестацию методик (методов) измерений, относящихся к сфере государственного регулирования обеспечения единства измерений, проводят аккредитованные в установленном порядке в области обеспечения единства измерений юридические лица и индивидуальные предприниматели;

порядок аттестации методик (методов) измерений и их применения устанавливается федеральным агентством по техническому регулированию и метрологии, которое ведет единый перечень измерений, относящихся к сфере государственного регулирования обеспечения единства измерений.

В Законе установлено, что его положения направлены на защиту прав и законных интересов граждан, общества и государства от отрицательных последствий недостоверных результатов измерений. Для реализации данного положения любая измерительная информация (приводимая в нормативных и технических документах, справочных пособиях и научно-технической литературе и др.), предназначенная для практического использования, должна сопровождаться указанием характеристик погрешности измерений. В зависимости от назначения результатов измерений, сложности и ответственности решаемых задач, номенклатура выбираемых характеристик погрешностей измерений может быть различной. Однако во всех случаях она должна обеспечивать возможность сопоставления и совместного использования результатов измерений, достоверную оценку качества и эффективности решаемых измерительных задач.

Дата добавления: 2016-06-02; просмотров: 720;

ПОСМОТРЕТЬ ЕЩЕ:

Ошибки измерения делятся на случайные (тот самый шум, о котором шла речь ранее) и систематические. Прояснить, что такое систематическая ошиб­ка, можно на следующем примере: предположим, мы немного изменим в схеме по рис. 13.3 сопротивление резистора R2. При этом у нас на опреде­ленную величину сдвинется вся шкала измерений: показания термометра бу­дут соответствовать действительности, только если мы прибавим (или вы­чтем, неважно) некоторую константу к полученной величине: / = /’ + 5, где / — «правильное» значение температуры (оно все же отличается от истинно­го значения из-за наличия случайной ошибки); /’ — показания термометра; 5 — величина систематической ошибки из-за сдвига шкалы. Более сложный случай систематической погрешности — если мы оставим R2 в покое, а не­много изменим R5, то есть изменим наклон характеристики термометра, или, как еще это называют, крутизну преобразования. Это равносильно тому, что мы умножаем показания на некий постоянный множитель к, и «правильное» значение будет тогда определяться по формуле: t = ht Эти виды ошибок но­сят название аддитивной и мультипликативной погрешностей.

Читайте так же:  Понятие и виды конфиденциальной информации

О систематических погрешностях математическая статистика «ничего не зна­ет», она работает только с погрешностями случайными. Единственный спо­соб избавиться от систематических погрешностей (кроме, конечно, подбора прецизионных компонентов) — это процедуры калибровки (градуировки), о них мы уже говорили в этой главе ранее.

Случайные ошибки измерения и их оценка

я предполагаю, что читатель знаком с таким понятием, как вероятность. Ес­ли же нет — настоятельно рекомендую книгу , которая есть переиздание труда от 1946 г. Расширить кругозор вам поможет классический учебник , который отличает исключительная внятность изложения (автор его, извест­ный математик Елена Сергеевна Вентцель, кроме научной и преподаватель­ской деятельности, также писала художественную литературу под псевдони­мом И. Грекова). Более конкретные сведения о приложении методов математической статистики к задачам метрологии и обработки эксперимен­тальных данных, в том числе с использованием компьютера, вы можете най­ти, например, в . Мы же остановимся на главном — расчете случайной по­грешности.

В основе математической статистики лежит понятие о нормальном распре­делении. Не следует думать, что это нечто заумное — вся теория вероятно­стей и матстатистика, как прикладная дисциплина, в особенности, основа­ны на здравом смысле в большей степени, чем какой-либо другой раздел математики.

Не составляет исключения и нормальный закон распределения, который на­глядно можно пояснить так. Представьте себе, что вы ждете автобус на оста­новке. Предположим, что автопарк работает честно, и надпись на табличке «интервал 15 мин» соответствует действительности. Пусть также известно, что предыдущий автобус отправился от остановки ровно в 10:00. Вопрос — во сколько отправится следующий?

Как бы идеально ни работал автопарк, совершенно ясно, что ровно в 10:15 следующий автобус отправится вряд ли. Пусть даже автобус выехал из парка по графику, но тут же был вынужден его нарушить из-за аварии на перекре­стке. Потом его задержал перебегающий дорогу школьник. Потом он просто­ял на остановке из-за старушки с огромной клетчатой сумкой, которая за­стряла в дверях. Означает ли это, что автобус всегда только опаздывает? От­нюдь, у водителя есть план, и он заинтересован в том, чтобы двигаться побы­стрее, потому он может кое-где и опережать график, не гнушаясь иногда и нарушением правил движения. Поэтому событие, заключающееся в том, что автобус отправится в 10.15, имеет лишь определенную вероятность, не более.

Если поразмыслить, то станет ясно, что вероятность того, что следующий автобус отправится от остановки в определенный момент, зависит также от того, насколько точно мы определяем этот момент. Ясно, что вероятность отправления в промежутке от 10.10 до 10.20 гораздо выше, чем в промежутке от 10.14 до 10.16, а в промежутке от 10 до 11 часов оно, если не возникли ка­кие-то форс-мажорные обстоятельства, скорее всего, произойдет наверняка. Чем точнее мы определяем момент события, тем меньше вероятность того, что оно произойдет именно в этот момент, и в пределе вероятность того, что любое событие произойдет ровно в указанный момент времени, равна нулю.

Такое кажущееся противоречие (на которое, между прочим, обращал внима­ние еще великий отечественный математик Колмогоров) на практике разре­шается стандартным для математики способом: мы принимаем за момент события некий малый интервал времени 5/. Вероятность того, что событие произойдет в этом интервале, уже равна не нулю, а некоей конечной величи­не бЛ а их отношение 5P/5t при устремлении интервала времени к нулю рав­на для данного момента времени некоей величине /?, именуемой плотностью распределения вероятностей. Такое определение совершенно аналогично определению плотности физического тела (в самом деле, масса исчезающе малого объема тела также стремится к нулю, но отношение массы к объему конечно) и потому многие понятия математической статистики имеют назва­ния, заимствованные из соответствующих разделов физики.

Правильно сформулированный вопрос по поводу автобуса звучал бы так: ка­ково распределение плотности вероятностей отправления автобуса во време­ни? Зная эту закономерность, мы можем всегда сказать, какова вероятность того, что автобус отправится в определенный промежуток времени.

Интуитивно форму кривой распределения плотности вероятностей опреде­лить несложно. Существует ли вероятность того, что конкретный автобус отправится, к примеру, позже 10:30 или, наоборот, даже раньше предыдуще­го автобуса? А почему нет — подобные ситуации в реальности представить себе очень легко. Однако ясно, что такая вероятность намного меньше, чем вероятность прихода «около 10:15». Чем дальше в обе стороны мы удаляемся от этого центрального наиболее вероятного срока, тем меньше плотность ве­роятности, пока она не станет практически равной нулю (то, что автобус за­держится на сутки — событие невероятное, скорее всего, если такое случи­лось, вам уже будет не до автобусов). То есть распределение плотностей ве­роятностей должно иметь вид некоей колоколообразной кривой.

В теории вероятностей доказывается, что при некоторых предположениях относительно вероятности конкретных исходов нашего события, эта кривая будет иметь совершенно определенный вид, который называется нормаль­ным распределением вероятностей или распределением Гаусса. Вид кривой плотности нормального распределения и соответствующая формула показа­ны на рис. 13.5.

Читайте так же:  Кто осуществляет помилование

Рис. 13.5. Плотность нормального распределения вероятностей

Далее мы поясним смысл отдельных параметров в этой формуле, а пока отве­тим на вопрос: действительно ли реальные события, в частности, интере­сующие нас ошибки измерения, всегда имеют нормальное распределение? Строгого ответа на этот вопрос в общем случае нет, и вот по какой причине. Математики имеют дело с абстракциями, считая, что мы уже имеем сколь угодно большой набор отдельных реализаций события (в случае с автобусом это была бы бесконечная таблица пар значений «плотность вероятности — время»). В реальной жизни такой ряд невозможно получить не только пото­му, что для этого потребовалось бы бесконечно долго стоять около остановки и отмечать моменты отправления, но и потому, что стройная картина непре­рывного ряда реализаций одного события (прихода конкретного автобуса) будет в конце концов нарушена совершенно не относящимися к делу веща­ми: маршрут могут отменить, остановку перепестри, автопарк обанкротится, не выдержав конкуренции с маршрутными такси… да мало ли что может произойти такого, что сделает бессмысленным само определение события.

Однако все же интуитивно понятно, что, пока автобус ходит, какое-то, пусть теоретическое, распределение имеется. Такой идеальный бесконеч­ный набор реализаций данного события носит название генеральной сово­купности. Именно генеральная совокупность при некоторых условиях мо­жет иметь, в частности, нормальное распределение. В реальности же мы имеем дело с выборкой из этой генеральной совокупности. Причем одна из важнейших задач, решаемых в математической статистике, состоит в том, чтобы имея на руках две разных выборки, доказать, что они принадлежат одной и той же генеральной совокупности — проще говоря, что перед нами есть реализации одного и того же события. Другая важнейшая для практи­ки задача состоит в том, чтобы по выборке определить вид кривой распре­деления и ее параметры.

На свете сколько угодно случайных событий и процессов, имеющих распре­деление, совершенно отличное от нормального, однако считается (и доказы­вается с помощью т. н. центральной предельной теоремы), что в интересую­щей нас области ошибок измерений при большом числе измерений и истинно случайном их характере, все распределения ошибок — нормальные. Предпо­ложение о большом числе измерений не слишком жесткое — реально доста­точно полутора-двух дес5Гтков измерений, чтобы все теоретические соотно­шения с большой степенью точности соблюдались на практике. А вот про истинную случайность ошибки каждого из измерений можно говорить с из­рядной долей условности: неслучайными их может сделать одно только же­лание экспериментатора побыстрее закончить рабочий день. Но математика тут уже бессильна.

Полученные опытным путем характеристики распределения называются оценками параметров, и, естественно, они будут соответствовать «настоя­щим» значениям с некоторой долей вероятности — наша задача и состоит в том, чтобы определить интервал, в котором могут находиться отклонения оценок от «истинного» значения и соответствующую ему вероятность. Но настало время все же пояснить — что же это за параметры?

в формуле на рис. 13.5 таких параметра два— величины ц и а. Они называ­ется моментами нормального распределения (аналогично моментам распре­деления масс в механике). Параметр ц называется математическим ожидани­ем (или моментом распределения первого порядка), а величина а — средним квадратическим отклонением. Нередко употребляют его квадрат, обозначае­мый как D или просто и носящий название дисперсии (или центрального момента второго порядка).

Математическое ожидание есть абсцисса максимума кривой нормального распределения (в нашем примере с автобусом это время 10:15), а дисперсия, как видно из рис. 13.5, характеризует «размытие» кривой относительно этого максимума— чем больше дисперсия, тем положе кривая. Этим моменты имеют прозрачный физический смысл (вспомните аналогию с фи^зическим распределением плотностей): математическое ожидание есть аналогия цен­тра масс некоего тела, а дисперсия характеризует распределение масс отно­сительно этого центра (хотя распределение плотности материи в физическом теле далеко от нормального распределения плотности вероятности).

Оценкой гпх математического ожидания ц служит хорошо знакомое нам со школы среднее арифметическое:

(1)

Здесь п— число измерений; /— текущий номер измерения (/= l,…,w); дс/ — значение измеряемой величины в /-м случае.

Оценка дисперсии вычисляется по формуле:

(2)

Оценка среднего квадратического отклонения, соответственно, будет:

(3)

Здесь (jc, – гПх) — отклонения конкретных измерений от ранее вычисленного среднего.

Следует особо обратить внимание, что сумму квадратов отклонений делить следует именно на « – 1, а не на «, как может показаться на первый взгляд, иначе оценка получится смещенной. Второе, на что следует обратить внима­ние — разброс относительно среднего характеризует именно среднее квадра-тическое отклонение, вычисленное по формулам (2) и (3), а не среднее арифметическое отклонение, как рекомендуют в некоторых школьных справочни­ках — последнее дает заниженную и смещенную оценку (не напоминает ли вам это аналогию со средним арифметическим и действующим значениями переменного напряжения?).

Заметки на полях

Кроме математического ожидания, средние значения распределения вероят­ностей характеризуют еще величинами, называемыми модой и медианой. В случае нормального распределения все три величины совпадают, но в дру­гих случаях они могут оказаться полезными: мода есть абсцисса наивероят-нейшего значения (то есть максимума на кривой распределения, что полно­стью отвечает бытовому понятию о моде), а медиана выборки есть такая точка, что половина выборки лежит левее ее, а вторая половина — правее.

В принципе этими формулами для расчета случайных погрешностей можно было бы ограничиться, если бы не один важный вопрос: оценки-то мы полу­чили, а вот в какой степени они отвечают действительности? Правильно сформулированный вопрос будет звучать так: какова вероятность того, что среднее арифметическое отклоняется от «истинного» значения (то есть мате­матического ожидания) не более чем на некоторою величину 8 (например, на величину оценки среднего квадратического отклонения s)?

Величина 5 носит название доверительного интервала, а соответствующая вероятность — доверительной вероятностью (или надежностью). Обычно решают задачу, противоположную сформулированной: задаются величиной надежности и вычисляют доверительный интервал 5. В технике принято за­даваться величиной надежности 95%, в очень уж серьезных случаях — 99%. Простейшее правило для обычных измерений в этом случае таково: при уело-вии достаточно большого числа измерений (практически — более 15—20) доверительной вероятности в 95% соответствует доверительный интер­вал в 2Sy а доверительной вероятности в 99% — доверительный интервал в 3s. Это известное правило «трех сигма», согласно которому за пределы утро­енного квадратического отклонения не выйдет ни один результат измерения, но на практике это слишком жесткое требование. Если мы не поленимся про­вести не менее полутора десятков отдельных измерений величины дс, то с чистой совестью можем записать, что результат будет равен

  • Блок finally (0)
  • Функции класса (0)
  • Параметры ref и out (0)
  • Язык ассемблера примеры комманд (0)
  • Блочная пересылка (0)
  • Особенности разработки микроконтроллеров (0)
  • Контроллеры на основе микросхем FPGA (1)
Читайте так же:  Гражданский кодекс это что?

Систематической погрешностью называется погрешность, остаю-щаяся постоянной или закономерно изменяющейся во времени при повтор-ных измерениях одной и той же величины.

Примером систематической погрешности, закономерно изменяющей-ся во времени, может служить смещение настройки прибора во времени.

Случайной погрешностью измерения называется погрешность, ко-торая при многократном измерении одного и того же значения не остаётся постоянной. Например, при измерении валика одним и тем же прибором в одном и том же сечении получаются различные значения измеренной величины.

Систематические и случайные погрешности чаще всего появляются одновременно.

Для выявления систематической погрешности производят многократные измерения образцовой меры и по полученным результатам определяют среднее значение размера. Отклонение среднего значения от размера образцовой меры характеризует систематическую погрешность. которую называют «средней арифметической погрешностью», или «средним арифметическим отклонением».

Систематическая погрешность всегда имеет знак отклонения, т.е. «+» или «-«. Систематическая погрешность может быть исключена введением поправки.

При подготовке к точным измерениям необходимо убедиться в отсутствии постоянной систематической погрешности в данном ряду измерений. Для этого нужно повторить измерения, применив при этом уже другие средства измерения. По возможности нужно изменить и общую обстановку опыта — производить его в другом помещении, в другое время суток.

Прогрессивные и периодические систематические погрешности в противоположность постоянным можно обнаружить при многократных измерениях.

Обработка данных и оценка параметров случайных погрешностей производится методами математической статистики, изложенными в .

При расчёте предельной погрешности измерения определяют числовое значение погрешности измерения от всех составляющих и производят суммирование:

где знаки «+» или «-» ставятся из условия, чтобы систематические и случайные погрешности суммировались по модулю.

Если в случайной погрешности известно среднее квадратическое отклонение, то

где К — показатель, указывающий доверительные границы для предельной случайной погрешности измерения (при К=1 р=0,65; при К=2 р=0,945; при К=3 р=0,9973).

Если результаты измерений зависят от большого числа разнообразных факторов, то

y = F(x1, x2, …..xn) ,

где xi — переменные функциональные параметры.

Каждый параметр может иметь отклонение Dxi (погрешность) от предписанного значения xi. Поскольку погрешность Dxi мала по сравнению с величиной xi, суммарная погрешность Dy функции y можно вычислять по формуле , (3.1)

где ¶y/¶xi — передаточное отношение (коэффициент влияния) параметра xi.

Формула (3.1) справедлива лишь для систематических погрешностей Dxi.

Для случайных погрешностей (когда отдельные составляющие не всегда принимают предельные значения) используются теоремы теории вероятностей о дисперсии, то есть

. (3.2)

Суммарная погрешность при наличии только случайных составляющих dxi погрешностей

где m — число попарно корреляционно связанных параметров;

ki и kj — коэффициенты относительного рассеяния, характеризующие степень отличия закона распределения погрешности данного параметра от нормального;

rij — коэффициент корреляции, существующий при наличии корреляционной связи между параметрами xi и xj.

При наличии и систематических и случайных составляющих погрешностей вычисляют доверительные границы суммарной погрешности:

Dyсум = Dy ± k×sy ,

где k — масштабный коэффициент интервала распределения, зависящий от закона распределения и принятой доверительной вероятности. Так, при доверительной вероятности Р = 0,95 для закона нормального распределения k = 2, а для закона Максвелла k = 3,6.

Пример. В результате измерений и последующего вычисления по формуле (3.1) получена суммарная систематическая погрешность результата измерения Dy =

-0,7 мкм, среднее квадратическое этого результата измерения, вычисленное по формуле (3.2) sy = 0,4 мкм. При доверительной вероятности Р =0,95 предел допускаемой погрешности dизм = +1 мкм. Тогда верхняя и нижняя доверительные границы погрешности

Dyсум в = -0,7 + 2×0,4 = +0,1 мкм; Dyсум н = -0,7 — 2×0,4 = -1,5 мкм.

Так как Dyсум н > dизм , выбранный метод и средство измерения не удовлетворяют требованиям точности. Следовательно, необходимо скомпенсировать систематическую составляющую погрешности, например, путём изготовления образца для настройки измерительного средства. Размер образца должен быть больше его начального размера на 0,7 мкм; тогда будет справедливо неравенство 0,8 < 1 мкм и проведённые измерения будут удовлетворять требованиям по точности.

Дата добавления: 2016-10-07; просмотров: 2438;

Похожие статьи:

Видео удалено.
Видео (кликните для воспроизведения).

Источники:

  1. И.Н. Олейникова Деньги. Кредит. Банки / И.Н. Олейникова. — М.: Магистр, 2008. — 512 c.
Систематические и случайные ошибки измерений
Оценка 5 проголосовавших: 1

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Please enter your comment!
Please enter your name here